Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，為棱的中點(diǎn)，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析； （Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，由正方形的性質(zhì)可得 ，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）正方形中，側(cè)棱底面，以為軸建立坐標(biāo)系，求出，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果；（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，則 為平面的法向量，結(jié)合（Ⅱ），由空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>底面底面 ，

所以，正方形中, ，

又因?yàn)?/span>， 所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以．

（Ⅱ）正方形中，側(cè)棱底面.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè).

依題意，則，所以 .

設(shè)平面的法向量，

因?yàn)?/span>，所以，

令，得 ，即，

所以，

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為 ；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，所以 為平面的法向量，

因?yàn)?/span>， 且二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為 ．