Question

2．已知函數f（x）=x³-3x，則函數h（x）=f[f（x）]-c，c∈[-2，2]的零點個數（　�。�

• A． 5或6個
• B． 3或9個
• C． 9或10個
• D． 5或9個

Answer 1

分析 利用換元法設t=f（x），求函數的導數判斷函數的單調性和極值，結合數形結合即可得到結論．

解答 解：設t=f（x），則由y=f[f（x）]-c=0，
得f[f（x）]=c，
即f（t）=c，t=f（x），
函數f（x）的導數f′（x）=3-3x²，
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0得x＜-1或x＞1，此時函數單調遞減，
即函數在x=1，取得極大值f（1）=3-1=2，
函數在x=-1，取得極小值f（-1）=-3+1=-2，
又由f（-2）=-2，f（2）=2得：

若f（t）=c，c∈（-2，2），則方程有三個解，
滿足-2＜t₁＜-1，0＜t₂＜1，1＜t₃＜2，
則當-2＜t₁＜-1時，方程t=f（x），有3個根，
當0＜t₂＜1時，方程t=f（x），有3個根，
當1＜t₃＜2時，方程t=f（x），有3個根，
此時共有9個根，
若f（t）=c，c=2，則方程有兩個解，
滿足t₁=-2，t₂=1，
則當t₁=-2時，方程t=f（x），有2個根，
當t₂=1，有3個根，
此時共有5個根，
同理f（t）=c，c=-2時，也共有5個根
故選：D

點評 本題主要考查函數方程的應用，利用換元法，結合數形結合是解決本題的關鍵．