3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABC,∠ABC=$\frac{π}{2}$,D是棱AC的中點,且AB=BC=BB1=4.
(Ⅰ)求證:AB1∥平面BC1D;    
(Ⅱ)求異面直線AB1與BC1所成的角.

分析 (Ⅰ)連結(jié)CB1交BC1于點O,側(cè)棱A1A⊥底面ABC,O為B1C的中點,且D是棱AC的中點,可得AB1∥OD,利用線面平行的判定定理即可.
(Ⅱ)AB1∥OD,可得∠DOB為異面直線AB1與BC1所成的角或其補角.解△OBD即可求出異面直線AB1與BC1所成的角.

解答 解:(Ⅰ)連結(jié)CB1交BC1于點O,…(1分)
側(cè)棱A1A⊥底面ABC
∴側(cè)面BB1C1C是矩形,
O為B1C的中點,且D是棱AC的中點,
∴AB1∥OD,…(3分)
∵OD平面BC1D,AB1?平面BC1D…(5分)
∴AB1∥平面BC1D…(6分)
(Ⅱ)AB1∥OD,∴∠DOB為異面直線AB1與BC1所成的角或其補角.
$∠ABC=\frac{π}{2}$,AB=BC=BB1=4$BD=2,OD=\frac{1}{2}A{B_1}=2,OB=2$,
∴△OBD為等邊三角形,
∴∠DOB=60°,…(11分)
∴異面直線AB1與BC1所成的角為600.…(12分)

點評 本題考查了線面平行,異面直線所成的角,關鍵是要轉(zhuǎn)化條件,考查學生分析解決問題的能力,難度中等.

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