Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），則

b-2

a-1

的取值范圍為（　　）

• A、（1，4）
• B、（

  1

  2

  ，1）
• C、（

  1

  4

  ，

  1

  2

  ）
• D、（

  1

  4

  ，1）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+b的圖象開口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），得a，b的約束條件，據(jù)線性規(guī)劃求出最值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，
∴x₁，x₂是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+2b的兩根
由于導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+ax+2b的圖象開口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
∴

b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

滿足條件的約束條件的可行域如圖所示：
令Z=

b-2

a-1

，則其幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點與P（1，2）連線的斜率，
∴由

b=0 1+a+2b=0

，可得a=-1，b=0，B（-1，0）.kPB=

0-2

-1-1

=1

1+a+2b=0 4+2a+2b=0

，可得a=-3，b=1，可得A（-3，1）．kPA=

1-2

-3-1

=

1

4

．
∴

b-2

a-1

∈（

1

4

，1）．
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值以及不等式求解函數(shù)的最值，考查分析問題解決問題的能力．