已知點(diǎn)O是銳角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=
π
3
．若
AO
=x
AB
+y
AC
，則6x+9y=
 
．
考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．可得D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)．可得
AO
•
AB
=
1
2
AB
2，
AO
•
AC
=
1
2
AC
2．由A=
π
3
，可得
AB
•
AC
．對(duì)
AO
=x
AB
+y
AC
，兩邊分別與
AB
，
AC
作數(shù)量積即可得出．
解答： 解：如圖所示，
過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．
則D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴
AO
•
AB
=
1
2
AB
2=
1
2
×82=32．
AO
•
AC
=
1
2
AC
2=
1
2
×122=72．
∵A=
π
3
．
∴
AB
•
AC
=8×12×cos
π
3
=48．
∵
AO
=x
AB
+y
AC
，
∴
AO
•
AB
=x
AB
2+y
AC
•
AB
，
AO
•
AC
=x
AB
•
AC
+y
AC
2，
化為32=64x+48y，72=48x+144y，
聯(lián)立解得x=
1
6
，y=
4
9
．
∴6x+9y=5．
故答案為：5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形外心性質(zhì)、垂經(jīng)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中對(duì)角線AC1與平面ABCD、平面ABB1A1、平面AA1D1D上射影所成角分別為θ1、θ2，θ3，求cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx+c，f（x）在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值，且x1∈（0，1），x2∈（1，2），則
b-2
a-1
的取值范圍為（　�。�
A、（1，4）
B、（
1
2
，1）
C、（
1
4
，
1
2
）
D、（
1
4
，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將向量
1
-1
，
-2
1
分別變換成向量
3
-2
，
-2
-1
，直線l在M的變換下所得到的直線l′的方程是2x-y-1=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，對(duì)角線AC=BD=2，且AC⊥BD，則四邊形EFGH的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=
1
2
AA1=
2
2
BC，D、E、F分別是BC、BB1、CC1的中點(diǎn)．
（1）求證A1E∥平面ADF；
（2）若AB=1，求C到平面ADF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正三角形，A1在底面ABC上的射影是棱BC的中點(diǎn)O，OE⊥AA1于E點(diǎn)．
（1）證明：OE⊥平面BB1C1C；
（2）若AA1=
3
AB，求AC與平面AA1B1B所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型實(shí)驗(yàn)，飛機(jī)模型在第一分鐘時(shí)間里上升了15米高度．
（1）若通過動(dòng)力控制系統(tǒng)，使得飛機(jī)模型在以后的每一分鐘里，上升的高度都比它前一分鐘上升的高度少2米，達(dá)到最大高度后保持飛行，問飛機(jī)模型上升的最大高度是多少？
（2）若通過動(dòng)力控制系統(tǒng)，使得飛機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度是它在前一分鐘里上升高度的80%，那么這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度能超過75米嗎？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正三棱錐A-BCD的所有棱長(zhǎng)都相等，從該三棱錐6條棱的中點(diǎn)任意選3個(gè)點(diǎn)連成三角形，再把剩下的3個(gè)點(diǎn)也連成三角形，則所得的2個(gè)三角形全等的概率為（　�。�
A、0
B、
1
3
C、
1
2
D、1

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