Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=

1

2

AA₁=

2

2

BC，D、E、F分別是BC、BB₁、CC₁的中點．
（1）求證A₁E∥平面ADF；
（2）若AB=1，求C到平面ADF的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）取B₁C₁中點M，連接EM，A₁M，由已知得平面ADF∥平面A₁EM，由此能證明A₁E∥平面ADF．
（2）利用等體積求出C到平面ADF的距離．

解答： （1）證明：取B₁C₁中點M，連接EM，A₁M，
∵DF∥EM，AD∥A₁M，AD∩DF=D，A₁M∩EM=M，
∴平面ADF∥平面A₁EM，
∵A₁E?平面A₁EM，
∴A₁E∥平面ADF．
（2）解：∵AB=AC=

1

2

AA₁=

2

2

BC=1，D是BC的中點．
∴AD⊥BC，AD⊥DF，AD=DC=

2

2

，CF=1，DF=

6

2

，
設C到平面ADF的距離為h，則

1

3

×

1

2

×

2

2

×

6

2

×h=

1

3

×

1

2

×

2

2

×1×

2

2

，
∴h=

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查C到平面ADF的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．