Question

已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求平面SCD與平面SBA所成二面角的正切值；
（2）求SC與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面SDC的法向量和平面SBA的法向量，利用向量法能求出平面SCD與平面SBA所成二面角的正切值．
（2）求出

SC

和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出SC與平面ABCD所成角的正弦值．

解答： 解：（1）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則S（0，0，1），D（

1

2

，0，0），C（1，1，0），

SD

=（

1

2

，0，-1），

SC

=（1，1，-1），
設(shè)平面SDC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • SD = 1 2 x-z=0 n • SC =x+y-z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，1），
又SBA的法向量

m

=（1，0，0），
設(shè)平面SCD與平面SBA所成二面角的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

2

6

=

6

3

，
sinθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，tanθ=

sinθ

cosθ

=

3 3

6 3

=

2

2

．
（2）∵

SC

=（1，1，-1），平面ABCD的法向量

p

=（0，0，1），
設(shè)SC與平面ABCD所成角為α，
則sinα=

| SC • p |

| SC |•| p |

=

1

3

=

3

3

，
∴SC與平面ABCD所成角的正弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的正切值的求法，考查線面角的正弦值的求法，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，意在考查方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生生的空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．