Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且

b+c

a

=

2-cosB-cosC

cosA

，函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）在[0，

π

3

]上單調(diào)遞增，在[

π

3

，

2π

3

]上單調(diào)遞減．
（Ⅰ）求證：b+c=2a；
（Ⅱ）若f（

π

9

）=cosA，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）通過(guò)已知表達(dá)式，去分母化簡(jiǎn)，利用兩角和與差的三角函數(shù)，化簡(jiǎn)表達(dá)式通過(guò)正弦定理直接推出b+c=2a．
（Ⅱ）利用函數(shù)的周期求出ω，通過(guò)f（

π

9

）=cosA，求出A的值，再利用余弦定理求出b=c，從而判斷△ABC的形狀．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，由

b+c

a

=

2-cosB-cosC

cosA

，∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA，
即sinC+sinB=2sinA，所以b+c=2a．
（Ⅱ）由題意可得，函數(shù)f（x）的周期為

4π

3

=

2π

ω

，∴ω=

3

2

．由f（

π

9

）=sin（

3

2

•

π

9

）=sin

π

6

=

1

2

=cosA，∴A=

π

3

．
由余弦定理可得cosA=

1

2

=

b2+c2-a2

2bc

，所以b²+c²-a²=bc因?yàn)閎+c=2a，所以 b²+c²-(

b+c

2

)2=bc，
化簡(jiǎn)可得：b²+c²-2bc=0，所以b=c．
又A=

π

3

，所以△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．