Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點，PA=AD．求證：
（1）CD⊥PD；
（2）EF⊥平面PCD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由線面垂直得CD⊥PA，由矩形性質(zhì)得CD⊥AD，由此能證明CD⊥PD．
（2）取PD的中點G，連結(jié)AG，F(xiàn)G．由已知條件推導出四邊形AEFG是平行四邊形，所以AG∥EF．再由已知條件推導出EF⊥CD，由此能證明EF⊥平面PCD．

解答： （本題滿分8分）
證明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．（4分）
（2）取PD的中點G，連結(jié)AG，F(xiàn)G．
又∵G、F分別是PD、PC的中點，
∴GF平行且等于

1

2

CD，
∴GF平行且等于AE，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴AG∥EF．
∵PA=AD，G是PD的中點，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．（8分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線垂直于平面的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．