Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-alnx-

1

3

（a∈R，a≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論：a＜0時，a＞0時，由此可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）只要求出f（x）的最小值，滿足f（x）的最小值大于或等于為即可．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′(x)=x2-

a

x

=

x3-a

x

，
①當(dāng)a＜0時，f′(x)=

x3-a

x

＞0恒成立，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，解得x=

3	a

，
當(dāng)x∈(0，

3	a

)時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(

3	a

，+∞)時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
綜上得：當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0，f（x）單調(diào)遞減為(0，

3	a

)，f（x）單調(diào)遞增為（

3	a

，+∞）．
（2）對任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需對任意的f（x）_min≥0，
①當(dāng)a＜0時，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，∴只需f（1）≥0，而f（1）=

1

3

-aln1-

1

3

=0，
∴a＜0滿足題意；
②當(dāng)0＜a≤1時，0＜

3	a

≤1，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴只需f（1）≥0，而f（1）=

1

3

-aln1-

1

3

=0，∴0＜a≤1滿足題意；
③當(dāng)a＞1時，

3	a

＞1，f（x）在[1，

3	a

]上是減函數(shù)，在[

3	a

，+∞）上是增函數(shù)，
∴只需f(

3	a

)≥0即可，而f(

3	a

)＜f(1)=0，∴a＞0不滿足題意；
綜上，a∈（-∞，0）∪（0，1]．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，運用了分類討論、等價轉(zhuǎn)化思想想同，屬于中檔題．