Processing math: 59%
6.已知函數(shù)f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域,并證明f(x)是定義域上的奇函數(shù);
(2)用定義證明f(x)在定義域上是單調(diào)增函數(shù);
(3)求不等式f(x2-32x)+f(1-x)>0的解集.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)成立的條件結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可,
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可,
(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)由對數(shù)函數(shù)的定義得{1x01+x0,得{x1x1,即-1<x<1,
∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1).
∵f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x),
∴f(x)是定義域上的奇函數(shù).
(2)設(shè)-1<x1<x2<1,
則f(x1)-f(x2)=lg(1+x1)-lg(1-x1)-lg(1+x1)+lg(1+x1)=lg1+x11x21+x21x1
∵0<x1<x2<1,
∴0<1+x1<1+x2,
0<1-x2<1-x1,
于是0<1+x11+x2<1,0<1x21x1<1,
則0<1+x11x21+x21x1<1,
則lg1+x11x21+x21x1<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),即函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)遞增函數(shù).
(3)∵f(x)在(-1,1)上是增函數(shù)且為奇函數(shù),
則不等式f(x2-32x)+f(1-x)>0可轉(zhuǎn)化為f(x2-32x)>-f(1-x)=f(x-1),
{1x232x111x1x232xx1,解得{12x20x2x12x2,即0<x<12
故不等式f(x2-32x)+f(1-x)>0的解集是(0,12).

點(diǎn)評(píng) 本題主要函數(shù)奇偶性和單調(diào)性判斷,利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.已知復(fù)數(shù)1i¯z=4+2i(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)所在的象限是( �。�
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,4]上單調(diào)遞增,則有( �。�
A.f(-1)>f(\frac{π}{3})>f(-π)B.f(\frac{π}{3})>f(-1)>f(-π)C.f(-π)>f(\frac{π}{3})>f(-1)D.f(-1)>f(-π)>f(\frac{π}{3}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx-1當(dāng)x=-2時(shí)有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值與最小值;
(3)若過點(diǎn)P(1,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是( �。�
A.y=x-\frac{1}{x}B.y=ex+xC.y={2^x}+\frac{1}{2^x}D.y=\sqrt{{x^2}-1}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.已知數(shù)列{an}是無窮數(shù)列,滿足lgan+1=|lgan-lgan-1|(n=2,3,4,…).
(Ⅰ)若a1=2,a2=3,求a3,a4,a5的值;
(Ⅱ)求證:“數(shù)列{an}中存在ak(k∈N*)使得lgak=0”是“數(shù)列{an}中有無數(shù)多項(xiàng)是1”的充要條件;
(Ⅲ)求證:在數(shù)列{an}中?ak(k∈N*),使得1≤ak<2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.下列函數(shù)中,在其定義域上既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞減的是( �。�
A.y=x2B.y=x+1C.y=-lg|x|D.y=-2x

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.有5本不同的書,其中語文書2本,數(shù)學(xué)書2本,物理書1本,若將其隨機(jī)地并排放到書架的同一層上,則同一科目的書都相鄰的概率為( �。�
A.\frac{1}{5}B.\frac{2}{5}C.\frac{1}{4}D.\frac{1}{6}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.若{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1>0,a1003+a1004>0,a1003•a1004<0,則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是( �。�
A.2005B.2006C.2007D.2008

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案