分析 (1)根據(jù)函數(shù)成立的條件結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可,
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可,
(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可.
解答 解:(1)由對數(shù)函數(shù)的定義得{1−x>01+x>0,得{x<1x>−1,即-1<x<1,
∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1).
∵f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x),
∴f(x)是定義域上的奇函數(shù).
(2)設(shè)-1<x1<x2<1,
則f(x1)-f(x2)=lg(1+x1)-lg(1-x1)-lg(1+x1)+lg(1+x1)=lg(1+x1)(1−x2)(1+x2)(1−x1),
∵0<x1<x2<1,
∴0<1+x1<1+x2,
0<1-x2<1-x1,
于是0<1+x11+x2<1,0<1−x21−x1<1,
則0<(1+x1)(1−x2)(1+x2)(1−x1)<1,
則lg(1+x1)(1−x2)(1+x2)(1−x1)<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),即函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上的單調(diào)遞增函數(shù).
(3)∵f(x)在(-1,1)上是增函數(shù)且為奇函數(shù),
則不等式f(x2-32x)+f(1-x)>0可轉(zhuǎn)化為f(x2-32x)>-f(1-x)=f(x-1),
則{−1<x2−32x<1−1<1−x<1x2−32x>x−1,解得{−12<x<20<x<2x<12或x>2,即0<x<12.
故不等式f(x2-32x)+f(1-x)>0的解集是(0,12).
點(diǎn)評(píng) 本題主要函數(shù)奇偶性和單調(diào)性判斷,利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力.
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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A. | f(-1)>f(\frac{π}{3})>f(-π) | B. | f(\frac{π}{3})>f(-1)>f(-π) | C. | f(-π)>f(\frac{π}{3})>f(-1) | D. | f(-1)>f(-π)>f(\frac{π}{3}) |
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A. | y=x-\frac{1}{x} | B. | y=ex+x | C. | y={2^x}+\frac{1}{2^x} | D. | y=\sqrt{{x^2}-1} |
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A. | y=x2 | B. | y=x+1 | C. | y=-lg|x| | D. | y=-2x |
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A. | \frac{1}{5} | B. | \frac{2}{5} | C. | \frac{1}{4} | D. | \frac{1}{6} |
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