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14.已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx-1當(dāng)x=-2時(shí)有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值與最小值;
(3)若過點(diǎn)P(1,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)f(x)在x=-2時(shí)有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3,可有:{f2=0f1=3{b=3c=0;
(2)函數(shù)f(x)的解析式為:f(x)=x3+3x2-1,利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極值;
(3)過點(diǎn)P(1,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,即存在三個(gè)x0,也即是y=m與h(x)=-2x30+6x0-1有三個(gè)交點(diǎn).

解答 解:(1)f'(x)=3x2+2bx+c
f(x)在x=-2時(shí)有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3
可有:{f2=0f1=3{b=3c=0
函數(shù)f(x)的解析式為:f(x)=x3+3x2-1
(2)由(1)知:f'(x)=3x2+6x
令f'(x)=0,有x1=0,x2=-2.
所以,當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f'(x)<0,f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f'(x)>0,f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增;
∴f(x)min=f(0)=-1;f(x)max=max{f(-1),f(2)}=f(2)=19.
(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x30+3x20-1)
切線斜率為:k=f'(x0)=3x20+6x0
∴切線方程為:y-(x30+3x20-1)=(3x20+6x0)(x-x0) ①
又切線過點(diǎn)P(1,m),帶入①化簡(jiǎn)為:m=-2x30+6x0-1
令y=m 與 h(x0)=-2x30+6x0-1
 h(-1)=-5,h(1)=3,h(0)=-1;
h'(x0)=-6x20+6,令h'(x0)=0⇒x1=-1,x2=1;
h(x0)在(-∞,-1),(1,+∞)單調(diào)遞減,(-1,1)上單調(diào)遞增;
過點(diǎn)P(1,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,即存在三個(gè)x0,也即是y=m與h(x)有三個(gè)交點(diǎn).
故如圖所知:-5<m<3.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與切線方程,函數(shù)極值,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)與方程思想,屬中等題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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切線l,過A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓交于D、E.
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