Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足 = + ．
（1）求證：A、B、C三點共線；
（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0， ]，f（x）= +（2m+ ）| |+m2的最小值為5，求實數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ =

∴ ∥ ，

又 與 有公共點A，故A、B、C三點共線

（2）解：∵ ， ，

∴ = ， ，

故 ， ，（x∈[0， ]）．

從而

=

=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2

=﹣sin2x+（2m+1）sinx+2+m2

= + ，

關于sinx的二次函數(shù)的對稱軸為 ，

∵ ，∴sinx∈[0，1]，又區(qū)間[0，1]的中點為 ．

①當 ，即m≤0時，當sinx=1時， ．

由f（x）min=5得m=﹣3或m=1，又m≤0，∴m=﹣3；

②當 ，即m＞0時，當sinx=0時， ，

由f（x）min=5得 ，又m＞0，∴ ．

綜上所述：m的值為﹣3或 ．

【解析】（1）利用向量共線定理證明 ∥ 即可；（2）利用數(shù)量積運算和二次函數(shù)的單調性即可得出．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面向量的基本定理及其意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使．