Question

求函數(shù)f（x）=ax²-4x-1，x∈[1，4]的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分a=0、a＞0、a＜0三種情況，分別利用函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的圖象，求得函數(shù)的值域．

解答： 解：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-4x-1在[1，4]上是減函數(shù)，故有值域?yàn)閇-17，-5]．
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²-4x-1的對(duì)稱軸為x=

2

a

＞0，
若

2

a

＜1，即a＞2時(shí)，f（x）=ax²-4x-1在[1，4]上是增函數(shù)，故值域?yàn)閇a-5，16a-17]．
若 1≤

2

a

≤

5

2

，即

4

5

≤a≤2 時(shí)，f（x）=ax²-4x-1在[1，4]上的最大值為f（4）=16a-17，
最小值為f（

2

a

）=-

4

a

-1，故函數(shù)的值域?yàn)閇-

4

a

-1，16a-17]．
若

5

2

＜

2

a

≤4，即

1

2

≤a＜

4

5

時(shí)，f（x）=ax²-4x-1在[1，4]上的最大值為f（1）=a-5，
最小值為f（

2

a

）=-

4

a

-1，故函數(shù)的值域?yàn)閇-

4

a

-1，a-5]．
若

2

a

＞4 即0＜a＜

1

2

時(shí)，f（x）=ax²-4x-1在[1，4]上是減函數(shù)，故值域?yàn)閇16a-17，a-5]．
③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²-4x-1的對(duì)稱軸為x=

2

a

＜0，
f（x）=ax²-4x-1在[1，4]上是增函數(shù)，故值域?yàn)閇a-5，16a-17]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意分類的層次，屬于基礎(chǔ)題．