Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=x|x-a|（x∈R）．
（1）當a=2時，畫出函數(shù)y=f（x）的大致圖象；

（2）當a=2時，根據(jù)圖象寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并用定義證明你的結(jié)論；
（3）試討論關(guān)于x的方程f（x）+1=a解的個數(shù)．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)圖象可寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間，用定義證明時，先取值，再作差，定號，下結(jié)論即可；
（3）關(guān)于x的方程f（x）+1=a解的個數(shù)等價于y=f（x）與直線y=a-1的圖象的交點個數(shù)．結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)于x的方程f（x）+1=a解的個數(shù)．

解答： 解：（1）當a=2時，函數(shù)y=f（x）=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

的大致圖象如圖所示；

（2）當a=2時，f（x）=x|x-2|的單調(diào)遞減區(qū)間是[1，2]．
證明：設(shè)x₁，x₂∈[1，2]，x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（2x₁-x₁²）-（2x₂-x₂²）=（x₁-x₂）[2-（x₁+x₂）]
∵x₁，x₂∈[1，2]，x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，2＜x₁+x₂＜4，
∴（x₁-x₂）[2-（x₁+x₂）]＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=x|x-2|的單調(diào)遞減區(qū)間是[1，2]．（8分）
（3）由題意，關(guān)于x的方程f（x）+1=a解的個數(shù)等價于y=f（x）與直線y=a-1的圖象的交點個數(shù)．
∵f(

a

2

)=

a2

4

，注意到f(

a

2

)-（a-1）=

1

4

（a-2）²≥0，當且僅當a=2時，等號成立．
∴根據(jù)圖象可得，當0＜a＜1時，y=f（x）與直線y=a-1的圖象有1個交點；
當a=1，a=2時，y=f（x）與直線y=a-1的圖象有2個交點；
當1＜a＜2或a＞2時，y=f（x）與直線y=a-1的圖象有3個交點．（12分）

點評：本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查方程解的個數(shù)的討論，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．