Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左頂點(diǎn)為A₁，右焦點(diǎn)為F₂，點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，則當(dāng)

PA1

•

PF2

取最小值時(shí)，求|

PA1

+

PF2

|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左頂點(diǎn)為A₁（-2，0），右焦點(diǎn)為F₂（1，0），由點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，可設(shè)P（x，y），則y²=3(1-

x2

4

)，-2≤x≤2．可得

PA1

•

PF2

=

1

4

(x+2)2≥0，即可得出當(dāng)x=-2時(shí)，

PA1

•

PF2

取得最小值0，此時(shí)P（-2，0）．

解答： 解：由橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左頂點(diǎn)為A₁（-2，0），右焦點(diǎn)為F₂（1，0），
由點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，可設(shè)P（x，y），則y²=3(1-

x2

4

)，-2≤x≤2．

PA1

•

PF2

=（-2-x，-y）•（1-x，-y）=（x+2）（x-1）+y²=x²+x-2+3(1-

x2

4

)=

1

4

(x+2)2≥0，
當(dāng)x=-2時(shí)，

PA1

•

PF2

取得最小值0，此時(shí)P（-2，0）．
∴

PA1

+

PF2

=（0，0）+（3，0）=（3，0）．
∴|

PA1

+

PF2

|=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性、向量的模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．