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7.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=15,且當(dāng)n≥2,有an1an=2an1+112an
(1)求證:數(shù)列 {1an}為等差數(shù)列;
(2)試問(wèn)a1a2是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng);如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)由原遞推式化簡(jiǎn),可得1an1an1=4(n≥2),說(shuō)明數(shù)列 {1an}為等差數(shù)列;
(2)由(1)求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,驗(yàn)證可知a1a2是數(shù)列{an}中的第11項(xiàng).

解答 (1)證明:由an1an=2an1+112an,得an-1-2an-1an=2an-1an+an,
即an-1-an=4an-1an,
1an1an1=4(n≥2),
∴數(shù)列 {1an}為等差數(shù)列;
(2)解:由{1an}為等差數(shù)列,公差為4,且1a1=5,
1an=5+4n1=4n+1,則an=14n+1
∴a1a2=145,若145=14n+1,得n=11.
則a1a2是數(shù)列{an}中的第11項(xiàng).

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等差關(guān)系的確定,是中檔題.

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