Question

已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），離心率e=

2

5

，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作不與坐標(biāo)軸垂直的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（1，0）滿足(

MA

+

MB

)⊥

AB

，求直線l的方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得C、B、N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：解法一：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意知b=1．e=

c

a

=

1- b2 a2

=

2

5

，解出即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．設(shè)l的方程為y=k（x-2）（k≠0），代入橢圓方程可得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由(

MA

+

MB

)⊥

AB

，可得(

MA

+

MB

)•

AB

=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算可得3k²-1=0，解出即可得出．（Ⅲ）依題意知C(

x

1

，-

y

1

)，直線BC的方程為y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，令y=0，可得x=

y1x2+y2x1

y1+y2

．l的方程為y=k（x-2），A、B在直線l上，可用k，x₁，x₂表示y₁，y₂即可得出x=

5

2

為定值．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．設(shè)l的方程為y=k（x-2）（k≠0），代入橢圓方程可得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由(

MA

+

MB

)⊥

AB

，可得|MA|=|MB|，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可解出．
（Ⅲ）設(shè)存在N（t，0），使得C、B、N三點(diǎn)共線，則

CB

∥

CN

，利用向量共線定理可得t=

5

2

．即可得出．

解答： 解法一：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意知b=1．
∴

a2-b2 a2

=

2

5

⇒a2=5，故橢圓方程為

x2

5

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．設(shè)l的方程為y=k（x-2）（k≠0），
代入

x2

5

+y2=1，得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

20k2

5k2+1

，x1x2=

20k2-5

5k2+1

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂），
∴

MA

+

MB

=(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(x1+x2-2，y1+y2)，

AB

=(x2-x1，y2-y1)，
∵(

MA

+

MB

)⊥

AB

，
∴(

MA

+

MB

)•

AB

=0，
∴（x₁+x₂-2）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0，
∴

20k2

5k2+1

-2-

4k2

5k2+1

=0，
∴3k2-1=0⇒k=±

3

3

，經(jīng)檢驗(yàn)滿足△＞0，
∴直線l的方程為：y=

3

3

x-

2 3

3

或y=-

3

3

x+

2 3

3

．
（Ⅲ）在x軸上存在定點(diǎn)N(

5

2

，0)，使得C、B、N三點(diǎn)共線．
依題意知C(

x

1

，-

y

1

)，直線BC的方程為y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，則x=

y1(x2-x1)

y2+y1

+x1=

y1x2+y2x1

y2+y1

，
∵l的方程為y=k（x-2），A、B在直線l上，
∴y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2）
∴x=

k(x1-1)x2+k(x2-1)x1

k(x1+x2)-4k

=

2kx1x2-2k(x1+x2)

k(x1+x2)-4k

=

2k• 20k2-5 5k2+1 -2k• 20k2 5k2+1

k 20k2 5k2+1 -4k

=

5

2

∴在x軸上存在定點(diǎn)N(

5

2

，0)，使得C、B、N三點(diǎn)共線．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．設(shè)l的方程為y=k（x-2）（k≠0），
代入

x2

5

+y2=1，得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

20k2

5k2+1

，x1x2=

20k2-5

5k2+1

，
∴y1+y2=k(x1+x2-4)=-

4k

5k2+1

，y₁-y₂=k（x₁-x₂），
∵(

MA

+

MB

)⊥

AB

，
∴|MA|=|MB|，
∴

(x1-1)2+y1

=

(x2-1)2+y2

，
∴（x₁+x₂-2）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，(1+

k

2

)(x1+x2)-2-4

k

2

=0，
∴3k²-1=0，解得k=±

3

3

，經(jīng)檢驗(yàn)滿足△＞0，
∴直線l的方程為：y=

3

3

x-

2 3

3

或y=-

3

3

x+

2 3

3

．
（Ⅲ） 在x軸上存在定點(diǎn)N(

5

2

，0)，使得C、B、N三點(diǎn)共線．
設(shè)存在N（t，0），使得C、B、N三點(diǎn)共線，則

CB

∥

CN

，
∵

CB

=(x1-x2，y2+y1)，

CN

=(t-x1，y1)，
∴（x₂-x₁）y₁-（t-x₁）（y₁+y₂）=0，
即（x₂-x₁）k（x₁-2）-（t-x₁）k（x₁+x₂-4）=0．
∴2x₁x₂-（t+2）（x₁+x₂）+4t=0，
∴2

20k2-5

5k2+1

-(t+2)

20k2

5k2+1

+4t=0，
∴t=

5

2

．
∴存在N(

5

2

，0)，使得C、B、N三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線定理、兩點(diǎn)之間的距離公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三點(diǎn)共線問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．