Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=（-1）ⁿ×2a_n+2^n-1，a₁=0．
（Ⅰ）求a₄的值，并證明數(shù)列{a_2n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=（-1）ⁿ×2a_n+2^n-1，a₁=0．分別取n=1，2，3可得a₂，a₃，a₄．由a_2n+1=2a2n+22n-1，可得a2n+2=-2a2n+1+22n=-4a_2n．即可證明．
（Ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=-2an-1+2n-2，an-1=-

1

2

an+2n-3，可得S_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n），利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出；當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=S_n+1-a_n+1，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1=（-1）ⁿ×2a_n+2^n-1，a₁=0．可得a₂=1，a₃=4，a₄=-4．
a_2n+1=2a2n+22n-1，
∴a2n+2=-2a2n+1+22n=-2(2a2n+22n-1)+22n=-4a_2n．
∴數(shù)列{a_2n}是等比數(shù)列，公比為-4，首項為1；

（Ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時，
an=(-1)n-1×2an-1+2n-2=-2an-1+2n-2，
∴an-2n-2=-2an-1，
an-1=-

1

2

an+2n-3，
∴S_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）
=[(-

1

2

a2+2-1)+(-

1

2

a4+2)+…+(-

1

2

an+2n-3)]+（a₂+a₄+…+a_n）
=

1

2

(a2+a4+…+an)+2^-1+2+…+2^n-3=

1

2

×

1×[1-(-4) n 2 ]

1-(-4)

+

1 2 (1-4 n 2 )

1-4

=-

1

10

(-4)

n

2

+

1

6

×2n-

1

15

．
當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=S_n+1-a_n+1=-

1

10

×(-4)

n+1

2

+

1

3

×2n-

1

15

-a_n+1．
由（Ⅰ）可得a2n=(-4)n-1．
∴a_n+1=(-4)

n-1

2

．
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=-

1

10

×(-4)

n+1

2

+

1

3

×2n-

1

15

-(-4)

n-1

2

=

3

20

×(-4)

n+1

2

+

1

3

×2n-

1

15

．
綜上可得：當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=

3

20

×(-4)

n+1

2

+

1

3

×2n-

1

15

；
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=-

1

10

×(-4)

n

2

+

1

6

×2n-

1

15

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項公式與前n項和公式、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．