Question

已知實(shí)數(shù)x₀，x₀+

π

2

是凼數(shù)f（x）=2cos²ωx+sin（2ωx-

π

6

）（ω＞0）的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)．
（1）求ω的值；
（2）設(shè)a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若f（A）=

3

2

，且

b

tanB

+

c

tanC

=

2a

tanA

，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+1，由題意可得：

T

2

=

π

2

，從而解得T，由ω＞0，T=

2π

2ω

=π，可解得ω的值．
（2）由f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=

3

2

，可解得：sin（2A+

π

6

）=

1

2

，可得：

3

sin2A+cos2A=1，由萬(wàn)能公式tanA=

3

，由A為三角形內(nèi)角，可得A=

π

3

，由

b

tanB

+

c

tanC

=

2a

tanA

，由正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式可得：cosB+cosC=1，可解得C=

π

3

，即可判斷三角形為等邊三角形．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²ωx+sin（2ωx-

π

6

）
=1+cos2ωx+

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx+

π

6

）+1
∵由實(shí)數(shù)x₀，x₀+

π

2

是函數(shù)f（x的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)．
∴可得：

T

2

=

π

2

，從而解得T=π
∴由ω＞0，T=

2π

2ω

=π，可解得：ω=1．
（2）∵f（A）=sin（2A+

π

6

）+1=

3

2

，
∴可解得：sin（2A+

π

6

）=

1

2

，可得：

3

sin2A+cos2A=1，設(shè)tanA=t，則有

2 3 t

1+t2

+

1-t2

1+t2

=1，從而解得：t=tanA=

3

，
∴由A為三角形內(nèi)角，可得A=

π

3

，
∵

b

tanB

+

c

tanC

=

2a

tanA

，由正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式可得：cosB+cosC=1．
∴由cos（

2π

3

-C）+cosC=1，可得：

1

2

sinC=1-

3

2

sinC
∴兩邊平方整理可得：sin²C-

3

sinC+

3

4

=0．
∴可解得：sinC=

3

2

，從而有C=

π

3

．
故可得△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式，萬(wàn)能公式，正弦定理以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，熟練應(yīng)用相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．