Question

已知向量

m

=（sin（2x+

π

6

），sinx），

n

=（1，sinx），f（x）=

m

•

n

-

1

2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式和最小正周期．
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的周期性及其求法,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由平面向量數(shù)量積的運算可得解析式f（x）=

3

2

sin2x，從而可求得函數(shù)f（x）的解析式和最小正周期．
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

m

•

n

-

1

2

=sin（2x+

π

6

）+sin²x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1-cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x．
∴函數(shù)f（x）的解析式是：f（x）=

3

2

sin2x．
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z；
由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z；單調(diào)遞減區(qū)間是：[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z；

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，平面向量數(shù)量積的運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識的考查．