在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD為正方形，四邊形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面PDAQ，AB=AQ=
1
2
DP．
（1）求證：棱錐Q-ABCCD與棱錐P-DCQ的體積相等．
（2）求異面直線(xiàn)CP與BQ所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．
考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）利用體積的計(jì)算方法將本題中的體積計(jì)算出來(lái)即可得出結(jié)論；
（2）確定∠PCE為異面直線(xiàn)PC與BQ所成角，利用余弦定理，即可求出異面直線(xiàn)CP與BQ所成角的大�。�
解答： （1）證明：設(shè)AB=a，由題設(shè)，QA⊥AD，QA⊥CD，知AQ為棱錐Q-ABCD的高，
所以棱錐Q一ABCD的體積V1=
1
3
a3，
棱錐P-DCQ的體積V2=VC-DPQ=
1
3
•
1
2
•2a•a•a=
1
3
a3，
故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積相等；
（2）解：因?yàn)锳B=AQ=
1
2
DP，取PD中點(diǎn)E，連結(jié)QE，CE
則QE∥BC，且QE=BC，故CE∥BQ，
所以∠PCE為異面直線(xiàn)PC與BQ所成角．…（2分）
設(shè)AB=a，則在△PCE中，EP=a，CE=
2
a，CP=
5
a，…（4分）

由余弦定理，cos∠PCE=
2a2+5a2-a2
2
2
a•
5
a
=
3
10
10
．…（7分）
所以，異面直線(xiàn)CP與BQ所成角的大小為arccos
3
10
10
．    …（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查體積的計(jì)算，考查異面直線(xiàn)所成角，考查余弦定理，正確作出異面直線(xiàn)所成角是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0（-3，-4），則cosα的值為（　　）
A、-
4
5
B、
3
5
C、
4
5
D、-
3
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a4•a7=2，則a1a2a3…a10的值為（　�。�
A、16B、32C、64D、128

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1，其中an=
S1，n=1
Sn-Sn-1，n≥2

（1）求S1，S2，S3的值；
（2）猜出Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
（1）f（x）=4x3-5x2-1895           
（2）f（x）=x3+sinx-cosx
（3）f（x）=（3x-2）（3x+3）
（4）f（x）=
4x3-5x2+2
x
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f：{1，2，3，4}→{1，2，3}滿(mǎn)足f[f（x）]=f（x），則這樣的函數(shù)共有多少個(gè)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2（sinx-cosx）cosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知命題p：方程x2+ax+4=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，命題q：a2-4a-5≤0，若命題p∧q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在周長(zhǎng)為48的直角三角形MPN中，∠MPN=90°，tan∠PMN=
3
4
，求以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線(xiàn)方程．

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