Question

在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的只有（　　）

• A、f（x）=

  1

  x

• B、f（x）=|x|
• C、f（x）=2
• D、f（x）=x²

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|可化成

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1，表示的是函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率的絕對(duì)值，而四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)都是（1，2）上可導(dǎo)的函數(shù)，因此即轉(zhuǎn)化為它們的導(dǎo)數(shù)值的絕對(duì)值在（1，2）內(nèi)是否恒小于1的問題，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)分別求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的值域是否是（-1，1）或是（-1，1）的子集即可．

解答： 解：因?yàn)閷?duì)于區(qū)間（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”
所以函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率的絕對(duì)值小于1即可，又因?yàn)樗膫�(gè)函數(shù)均是（1，2）上的可導(dǎo)函數(shù)，則在（1，2）內(nèi)總能找到一條切線平行于任意兩點(diǎn)連線，則問題即轉(zhuǎn)化為
在（1，2）上四個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值是否滿足恒在（0，1）取值即可，
對(duì)于A：|f′（x）|=

1

x2

，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′(x)∈(

1

4

，1)⊆（0，1），故A符合題意；
對(duì)于B：由題意f（x）=x，f′（x）=1，故B不滿足題意；
對(duì)于C：函數(shù)f（x）=2x，所以f′（x）=2＞1，故C不滿足題意；
對(duì)于D：f′（x）=2x，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）∈（2，4），故D不滿足題意．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，實(shí)際上是對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言，割線在沿著某個(gè)方向平移的過程中極限位置是某點(diǎn)處的切線，從而將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的問題求解．