Question

已知正△AOB頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，已知△AOB周長12

3

，求拋物線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由已知得A，B點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，推導(dǎo)出A（6p，2

3

p），B（6p，-2

3

p），再由△AOB周長12

3

，能求出拋物線方程．

解答： 解：∵拋物線y²=2px關(guān)于x軸對稱，
∴若正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，
另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，
∴A，B點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，
∴直線OA傾斜角為30°，斜率為

3

3

，
∴直線OA方程為y=

3

3

x
與拋物線方程聯(lián)立，得

1

3

x2=2px，
∴x=0或x=6p
∴A（6p，2

3

p），B（6p，-2

3

p），
∴|AB|=|OA|=|OB|=4

3

p，
∵△AOB周長12

3

，
∴12

3

p=12

3

，解得p=1．
∴拋物線方程為y²=2x．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用．