已知：等差數(shù)列{an}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d＜0．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（2）求
Sn-an
n
的最大值及相應(yīng)的n的值．
考點：等差數(shù)列的性質(zhì)
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知列式求得首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式得答案；
（2）求出等差數(shù)列的前n項和，代入
Sn-an
n
整理，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值，且求出n的值．
解答： 解：（1）∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
∴a2+a5=a3+a4=15，
∴
a2+a5=15
a2a5=54
，解得
a2=6
a5=9
或
a2=9
a5=6
，
∵d＜0，
∴a2=9，a5=6，
則a1=10，d=-1．
∴an=11-n；
（2）∵a1=10，an=11-n，
∴Sn=-
1
2
n2+
21
2
n，
Sn-an
n
=
-
1
2
n2+
21
2
n-(11-n)
n
=-
1
2
(n+
22
n
)+
23
2
．
令f(x)=x+
22
x
，f′(x)=1-
22
x2
=0，
知f(x)在(0，
22
)上單減，在(
22
，+∞)上單增，
又4＜
22
＜5，
而f(4)=9
1
2
＞f(5)=9
2
5
．
∴當(dāng)n=5時，
Sn-an
n
取最大值為-
1
2
×
47
5
+
23
2
=
34
5
．
點評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項和，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示為函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤
π
2
）的部分圖象，其中A，B兩點之間的距離為5，那么f（-1）=（　�。�
A、-1
B、-
3
C、
3
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若A={x|log2（x-4）＜1}，B={y|y=3x+2，-4≤x≤3}，則A∩B=（　�。�
A、[-10，6）
B、（4，6）
C、（6，11]
D、（0，11]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增的是（　�。�
A、f（x）=2-x
B、f（x）=x2+1
C、f（x）=
1
x2
D、f（x）=x3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=|logmx|，其中m＞0，m≠1，已知0＜a＜b，且滿足f（a）=f（b）
（1）求證：a•b=1；
（2）比較
a+b
2
與1的大��；
（3）試問當(dāng)m＞1時，關(guān)于b的方程f（b）=2f（
a+b
2
）是否在（3，4）內(nèi)有解？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算下列各式的值
（1）lg52+
2
3
lg8+lg5•lg20+(lg2)2
（2）2-
1
2
+
(-4)0
2
+
1
2
-1
-
(1-
5
)0
•8
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log2[1+2x+a•（4x+1）]
（1）a=-1時，求函數(shù)f（x）定義域；
（2）當(dāng)x∈（-∞，1]時，函數(shù)f（x）有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）a=-
1
2
時，函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x+b（0≤x≤1）無交點，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（1）=
1
5
，且對任意的x都有f（x+3）=-
1
f(x)
，則f（2014）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinθ+cosθ=
1
5
，θ∈（0，π），則tanθ=（　�。�
A、-
4
3
B、
4
3
C、-
3
4
D、
3
4

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