Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln

1x+2x+…+(n-1)x+nxa

n

，其中a∈R，對(duì)于任意的正整數(shù)n（n≥2），如果不等式f（x）＞（x-1）lnn在區(qū)間[1，+∞）上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，將原不等式等價(jià)變形為：（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，再變量分離得到1-a＜（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+（

3

n

）^x+…+（

n-1

n

）^x，原不等式在區(qū)間[1，+∞）上有解，即1-a小于右邊的最大值．根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到右邊的最大值，最后結(jié)合n≥2即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：不等式f（x）＞（x-1）lnn，即
ln

1x+2x+…+(n-1)x+nxa

n

＞lnn^x-1，
∵對(duì)數(shù)的底e＞1，
∴原不等式可化為1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x+n^xa＞n^x，
移項(xiàng)得（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，
因?yàn)閚是正整數(shù)，所以兩邊都除以n^x，得
1-a＜（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+（

3

n

）^x+…+（

n-1

n

）^x …（*）
不等式f（x）＞（x-1）lnn在區(qū)間[1，+∞）上有解，即（*）式的右邊的最大值大于1-a
∵g（x）=（

1

n

）^x+（

2

n

）^x+（

3

n

）^x+…+（

n-1

n

）^x 在[1，+∞）上是一個(gè)減函數(shù)
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）的最大值為

1

n

+

2

n

+

3

n

+…+

n-1

n

=

1

n

×

n(n-1)

2

=

n-1

2

因此1-a＜

n-1

2

，得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞1-

n-1

2

，結(jié)合n≥2得a＞

1

2

故答案為：{a|a＞

1

2

}

點(diǎn)評(píng)：本題給出對(duì)數(shù)型函數(shù)，求一個(gè)不等式在區(qū)間上有解的參數(shù)a的取值范圍，著重考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生對(duì)基本初等函數(shù)的掌握，屬于中檔題．