Question

已知

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x+m），f（x）=

a

•

b

；
（1）求函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當x∈[0，

π

6

]時，f（x）的最大值為4，求實數(shù)m的值．（提示：

a

•

b

=x₁x₂+y₁y₂）

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)向量的內(nèi)積運算，利用兩角和的正弦公式化成正弦函數(shù)的標準形式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值．

解答： 解：依題意得：
f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin（2x+

π

6

）+1+m
（1）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
∴f（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．
（2）∵x∈[0，

π

6

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴當2x+

π

6

=

π

2

時，f（x）_max=2+m+1
依題意得：3+m=4，∴m=1．

點評：本題考查了向量的內(nèi)積運算、兩角和的正弦公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是把函數(shù)f（x）化成正弦函數(shù)的標準形式．