Question

如圖，矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=2，E，F(xiàn)，M，N分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，G，H分別是線段ON，CN的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓Ω：

x2

4

+y²=1上；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（-1≤m≤1）與橢圓Ω：

x2

4

+y²=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，直線l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S，T，求

|PQ|

|ST|

的最大值及取得最大值時(shí)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件求出直線EG：y=x-1，直線FH：y=-

1

4

x+1，從而得到直線EG與FH的交點(diǎn)，由此能證明直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓Ω上．
（Ⅱ）聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=x+m

，得5x²+8mx+4m²-4=0，由△=64m²-20（4m²-4）＞0，且-1≤m≤1，得-1≤m≤1，由此能求出

|PQ|

|ST|

的最大值．

解答： （Ⅰ）證明：∵矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=2，
E，F(xiàn)，M，N分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，G，H分別是線段ON，CN的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E（0，-1），G（1，0），F(xiàn)（0，1），H(2，

1

2

)，（1分）
∴直線EG：y=x-1，直線FH：y=-

1

4

x+1，（3分）
∴直線EG與FH的交點(diǎn)L(

8

5

，

3

5

)，（4分）
∵

( 8 5 )2

4

+(

3

5

)2=1，
∴直線EG與FH的交點(diǎn)L在橢圓Ω：

x2

4

+y2=1上．（5分）
（Ⅱ）解：聯(lián)立方程組

x2 4 +y2=1 y=x+m

，
消去y，得5x²+8mx+4m²-4=0，（6分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-4

5

，（7分）
由△=64m²-20（4m²-4）＞0，且-1≤m≤1，
得-1≤m≤1．（8分）|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2

•

(- 8m 5 )2-4• 4m2-4 5

=

4 2

5

5-m2

，（10分）
由于-1≤m≤1時(shí)，直線l與矩形ABCD的邊AB、CD相交，
∴|ST|=2

2

，（11分）
則

|PQ|

|ST|

=

2

5

5-m2

，
∴m=0時(shí)，

|PQ|

|ST|

取最大值

2 5

5

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線的交點(diǎn)在橢圓上的證明，考查兩線段比值的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．