Question

奇函數(shù)f（x）=

m-g(x)

1+g(x)

的定義域為R，其中y=g（x）為指數(shù)函數(shù)且過點（2，4）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對任意的t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0解集非空，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題,函數(shù)奇偶性的性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）設g（x）=a^x（a＞0，a≠1），代入點，即可得到g（x），再由奇函數(shù)的定義，即可得到m=1；
（Ⅱ）先判斷f（x）的單調性，可運用導數(shù)或分離變量法，要使對任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0解集非空，即對任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）＞-f（-2t²+2t-5）解集非空．再由奇函數(shù)和單調性的性質，運用分離參數(shù)方法，結合二次函數(shù)的最值，即可得到k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設g（x）=a^x（a＞0，a≠1），
則a²=4，∴a=2，
∴g(x)=2x，f(x)=

m-2x

1+2x

．
又∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），∴

m-2-x

1+2-x

=-

m-2x

1+2x

，
整理得m（2^x+1）=2^x+1，∴m=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

；
（Ⅱ）∵f′(x)=

-2.2xln2

(1+2x)2

＜0，∴y=f（x）在R上單調遞減．　
也可用f(x)=

2

1+2x

-1為R上單調遞減．　　　
要使對任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0解集非空，
即對任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）＞-f（-2t²+2t-5）解集非空．
∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（t²+2t+k）＞f（2t²-2t+5）解集非空，
又∵y=f（x）在R上單調遞減，∴t²+2t+k＜2t²-2t+5，
當t∈[0，5]時有實數(shù)解，
∴k＜t²-4t+5=（t-2）²+1當t∈[0，5]時有實數(shù)解，
而當t∈[0，5]時，1≤（t-2）²+1≤10，
∴k＜10．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性及運用：求函數(shù)的表達式和解不等式，考查運算能力，考查分離參數(shù)的方法，屬于中檔題和易錯題．