Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ（n∈N₊）．
（Ⅰ）令b_n=a_2n，求證{b_n}是等差數(shù)列，并求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：

分析：（I）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）對n分類討論利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）n≥2時b_n-b_n-1=a_2n-a_2n-2=2，
∴{b_n}是等差數(shù)列，
且b₁=a₂=2，
∴b_n=2n．
（Ⅱ）∵an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)
當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n+2-a_n=0（n∈N₊），即a_n+2=a_n
∵a₁=1，∴a1=a3=…=a2k-1=1  (k∈N*)
故當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=1；
當(dāng)n為偶數(shù)時，an=b

n

2

=n，
∴a_n的通項公式為an=

1， n為奇數(shù) n， n為偶數(shù)

．
（Ⅲ）　當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn=1+2+1+4+…+1+n=

n

2

+

n 2 (2+n)

2

=

n2+4n

4

，
當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn=Sn-1+1=

(n-1)2+4(n-1)

4

+1=

(n+1)2

4

，
故Sn=

(n+1)2 4 ， n為奇數(shù) n2+4n 4 ， n為偶數(shù)

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項和公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．