Question

已知雙曲線C₁：

x2

a2

-8y²=1（a＞0）的離心率是

2

，拋物線C₂：y²=2px的準線過C₁的左焦點．
（1）求拋物線C₂的方程；
（2）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，4）是C₂上三點，且CA⊥CB，證明：直線AB過定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）雙曲線C₁：

x2

a2

-8y²=1（a＞0）的離心率是

2

，所以a²=

1

8

，c²=

1

4

，即可求拋物線C₂的方程；
（2）求出A，B的坐標，可得直線AB的方程，即可得出結論．

解答： 解：（1）因為雙曲線C₁：

x2

a2

-8y²=1（a＞0）的離心率是

2

，
所以a²=

1

8

，c²=

1

4

，…（2分）
所以拋物線C₂：y²=2px的準線方程是x=-

1

2

，
所以p=1，拋物線C₂的方程是y²=2x．         …（4分）
（2）不妨設C（8，4），
設AC的斜率為k，則直線AC的方程是y-4=k（x-8），
x=

y2

2

代入并整理，得ky²-2y+8-8k=0，
方程的兩根是4和

2

k

-4，所以y₁=

2

k

-4，x₁=

2(2k-1)2

k2

，
A點的坐標是（

2(2k-1)2

k2

，

2

k

-4），
同理可得B點的坐標（2（2+k）²，-2k-4），…（7分）
直線AB的斜率k_AB=

-k

k2+4k-1

，
直線AB的方程是y-（-2k-4）=

-k

k2+4k-1

[x-2（2+k）²]，
即y=

-k

k2+4k-1

（x-10）-4，…（9分）
直線AB過定點，定點坐標是（10，-4）．　        …（10分）

點評：本題主要考查了直線與曲線方程的位置關系及方程思想的轉化，方程的根與系數(shù)的關系的應用，拋物線的定義的應用．綜合的知識的較多，還有具備一定的計算及推理的能力．