Question

【題目】已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若，求的最大值；

（2）若在R上單調(diào)遞減，

①求a的取值范圍；

②當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①，②證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系當，求出單調(diào)遞增區(qū)間，當，求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，進而可求出最大值.

（2）①求出對恒成立，化為對恒成立，記，討論值，求出的最小值即可證出；②由題意可得，即，兩邊取對數(shù)可得，下面采用分析法即可證出.

（1）時，

時，，在上單調(diào)遞增

時，，在上單調(diào)遞減

（2）由

①在R上單調(diào)遞減，對恒成立，

即對恒成立，記，

則對恒成立，

當時，，符題

當時，時，，在上單調(diào)遞減

時，，在上單調(diào)遞增；

當時，時，，在上單調(diào)遞減

時，，在上單調(diào)遞增；

綜上：

②當時，在上單調(diào)遞減，，

，，.

要證，即證

下面證明

令，，則，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，，得證