Question

已知直線y=-

1

2

x+2和橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，M為線段AB的中點，若|AB|=2

5

，直線OM的斜率為

1

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用點差法，結合M為線段AB的中點，|AB|=2

5

，直線OM的斜率為

1

2

，求出幾何量，即可求橢圓的方程．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
則A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入方程并相減得：

y2-y1

x2-x1

=-

b2

a2

•

x1+x2

y1+y2

．
∴k_AB=-

b2

a2

•

x0

y0

=-

1

2

．③
又k_OM=

x0

y0

=

1

2

，④
由③④得a²=4b²．
由直線y=-

1

2

x+2和橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）得：x²-4x+8-2b²=0，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=8-2b²．
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

5

2

8b2-16

=2

5

．
解得：b²=4．
故所求橢圓方程為：

x2

16

+

y2

4

=1．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查點差法的運用，屬于中檔題．