兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11,…和3,7,11,…都有100項(xiàng),那么它們共有多少相同的項(xiàng)?

答案:
解析:

  思路與技巧:顯然,已知的兩數(shù)列的所有相同的項(xiàng)將構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{an},這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)研究數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)問(wèn)題了.

  解法一:設(shè)已知的兩數(shù)列的所有相同的項(xiàng)將構(gòu)成的新數(shù)列為{cn},c1=11,

  又?jǐn)?shù)列5,8,11,…的通項(xiàng)公式為an=3n+2,

  數(shù)列3,7,11,…的通項(xiàng)公式為bn=4n-1.

  ∴數(shù)列{cn}為等差數(shù)列,且d=12.∴cn=12n-1

  又∵a100=302,b100=399,∴cn=12n-1<302

  得n≤25,可見(jiàn)已知兩數(shù)列共有25個(gè)相同的項(xiàng).

  解法二:∵an=3n+2,bn=4n-1,

  設(shè)an=bm,則有3n+2=4m-1(n,m∈N*),即n=m-1(n,m∈N*),

  要使n為正整數(shù),m必須是3的倍數(shù).

  設(shè)m=3k(k∈N*),代入前式得n=4k-1,

  又∵1≤3k≤100,且1≤4k-1≤100,

  解得1≤k≤25,∴共有25個(gè)相同的項(xiàng).

  評(píng)析:解法一是從兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)組成的數(shù)列的特征來(lái)研究;解法二是從兩數(shù)列公共項(xiàng)之間的關(guān)系來(lái)研究的.本題告訴我們這樣一個(gè)結(jié)論:兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)組成的數(shù)列(不改變?cè)瓉?lái)的順序)仍是等差數(shù)列,且公差是已知兩等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù).


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已知兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11,…和3,7,11,…都有100項(xiàng),問(wèn)它們有多少相同的項(xiàng)?并求所有相同項(xiàng)的和.

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已知兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11,…和3,7,11,…都有100項(xiàng),則它們的公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)為( �。�

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已知兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11,…;                                      ①

3,7,11,….                                                                ②

它們的項(xiàng)數(shù)為100項(xiàng),請(qǐng)問(wèn)它們有多少個(gè)彼此具有相同數(shù)值的項(xiàng).

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兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11,…和3,7,11,…都有100項(xiàng),問(wèn)它們有多少個(gè)共同的項(xiàng)?

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已知兩個(gè)等差數(shù)列5,8,11, 和3,7,11, 都有2013項(xiàng),則兩數(shù)列有( )相同的項(xiàng)

A.501              B. 502             C. 503             D. 505

 

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