Question

設(shè)f（x）=

a-2x

1+2x

，其中實常數(shù)a＞-1
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性和奇偶性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件即可求函數(shù)f（x）的定義域和值域
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)進行判斷．

解答： 解：（1）∵1+2^x＞0恒成立，∴函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），
f（x）=

a-2x

1+2x

=

a+1-(1+2x)

1+2x

=

a+1

1+2x

-1，
∵a＞-1，
∴a+1＞0
∵1+2^x＞1，∴0＜

1

1+2x

＜1
則0＜

a+1

1+2x

＜a+1，-1＜

a+1

1+2x

-1＜a，
即函數(shù)的值域（-1，a）．
（2）f（-x）=

a-2-x

1+2-x

=

a•2x-1

1+2x

，
若f（-x）=f（x），即-1+a•2^x=a-2^x，此時a=-1，不成立，
若f（-x）=-f（x），即-1+a•2^x=-a+2^x，此時a=1，此時函數(shù)為奇函數(shù)，
若a≠1，則函數(shù)非奇非偶函數(shù)．
∵a+1＞0，函數(shù)y=1+2^x為增函數(shù)，y=

1

1+2x

是減函數(shù)，
y=

a+1

1+2x

是減函數(shù)，y=

a+1

1+2x

-1是減函數(shù)，
則f（x）是減函數(shù)．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和值域的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．