Question

【題目】已知函數(shù) f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．

（1）寫出函數(shù) f（x）的最小正周期（不必寫出過程）；

（2）求函數(shù) f（x）的最大值；

（3）當a＝1時，若函數(shù) f（x）在區(qū)間（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015個零點，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）最小正周期為π．（2）見解析（3）k＝1008．

【解析】

（1）由題意結(jié)合周期函數(shù)的定義直接求解即可；

（2）令，t∈[1，]，則當時，，

當時，，易知，分類比較、的大小即可得解；

（3）轉(zhuǎn)化條件得當且僅當sin2x＝0時，f（x）＝0，則x∈（0，π]時，f（x）有且僅有兩個零點，結(jié)合函數(shù)的周期即可得解.

（1）函數(shù) f（x）的最小正周期為π．

（2）∵f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1

＝asin2x﹣1＝a（sin2x+1），

令t，t∈[1，]，

當時，，

當時，，

∵即.

∴，

∵，，

∴當時，最大值為；當，最大值為.

（3）當a＝1時，f（x），

若f（x）＝0，則即，

∴當且僅當sin2x＝0時，f（x）＝0，

∴x∈（0，π]時，f（x）有且僅有兩個零點分別為，π，

∴2015＝2×1007+1，

∴k＝1008．