Question

設(shè)函數(shù)
（1）求的單調(diào)區(qū)間、最大值；
（2）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是；最大值為；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2．

試題分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)槿�體實(shí)數(shù)．先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式得單調(diào)減區(qū)間，解不等式得單調(diào)增區(qū)間，進(jìn)而求得最大值；（2）構(gòu)造函數(shù)＝，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，根據(jù)這個(gè)最小值大于零、等于零、小于零討論方程的根的個(gè)數(shù)．
試題解析：（1）．               1分
由得．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．            3分
∴的最大值為．              4分
（2）令＝．        5分
①當(dāng)時(shí)，，∴．
∵，∴，∴在上單調(diào)遞增．      7分
②當(dāng)時(shí)，，，．
∵，∴，∴在（0,1）上單調(diào)遞減．
綜合①②可知，當(dāng)時(shí)，．        9分
當(dāng)即時(shí)，沒有零點(diǎn)，故關(guān)于方程的根的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于方程的根的個(gè)數(shù)為1；   11分
當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，由（1）知．
要使，只需即．
當(dāng)時(shí)，由(1)知．
要使，只需即，所以時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)  13分
綜上所述
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2．         14分