Question

設函數
（1）求的單調區(qū)間、最大值；
（2）討論關于的方程的根的個數．

Answer 1

（1）函數的單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是；最大值為；（2）當時，關于的方程根的個數為0；當時，關于的方程根的個數為1；當時，關于的方程根的個數為2．

試題分析：（1）函數的定義域為全體實數．先求函數的導數，解不等式得單調減區(qū)間，解不等式得單調增區(qū)間，進而求得最大值；（2）構造函數＝，利用導數求得的最小值，根據這個最小值大于零、等于零、小于零討論方程的根的個數．
試題解析：（1）．               1分
由得．
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；∴函數的單調遞增區(qū)間是；單調遞減區(qū)間是．            3分
∴的最大值為．              4分
（2）令＝．        5分
①當時，，∴．
∵，∴，∴在上單調遞增．      7分
②當時，，，．
∵，∴，∴在（0,1）上單調遞減．
綜合①②可知，當時，．        9分
當即時，沒有零點，故關于方程的根的個數為0；
當即時，只有一個零點，故關于方程的根的個數為1；   11分
當即時，當時，由（1）知．
要使，只需即．
當時，由(1)知．
要使，只需即，所以時，有兩個零點  13分
綜上所述
當時，關于的方程根的個數為0；
當時，關于的方程根的個數為1；
當時，關于的方程根的個數為2．         14分