Processing math: 45%
18.已知函數(shù)f(x)=2x+2-x
(1)求方程f(x)=52的根;
(2)求證:f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù);
(3)若對于任意x∈[0,+∞),不等式f(2x)≥f(x)-m恒成立,求實數(shù)m的最小值.

分析 (1)求出2x的值,從而求出方程的根即可;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;(3)求出f(2x)的表達式,得到m≥f(x)-f(2x)=f(x)-[f(x)]2+2,從而求出m的最小值即可.

解答 (1)解:方程fx=52,即2x+2x=52,
亦即2x252×2x+1=0,
∴2x=2或2x=12
∴x=1或x=-1.…(4分)
(2)證明:設(shè)0≤x1<x2,
fx1fx2=2x1+2x12x2+2x2=2x22x112x1+x22x12x20,
∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).…(8分)
(3)解:由條件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x2-2=(f(x))2-2,
因為f(2x)≥f(x)-m對于x∈[0,+∞)恒成立,且f(x)>0,
m≥f(x)-f(2x)=f(x)-[f(x)]2+2.
又x≥0,∴由(2)知f(x)最小值為2,
∴f(x)=2時,m最小為2-4+2=0.…(12分)

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查解方程以及二次函數(shù)的性質(zhì),是一道中檔題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

8.已知函數(shù)f(x)=x2e-x,當曲線y=f(x)的切線斜率為負數(shù)時,求切線在x軸上截距的取值范圍(-∞,0)∪[22+3,+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x≥0時,f(x+2)=f(x),若f(x)滿足:
①x∈[0,2)時,f(x)=a-|x-b|,
②f(x)是定義在R上的周期函數(shù),
③存在m使得f(x+m)=-f(m-x)
則a+b的值為32

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

6.已知a=(cos32x,-sin32x),b=(cosx2,sinx2),x∈[0,\frac{π}{2}].若函數(shù)f(x)=\overrightarrow a\overrightarrow b-\frac{1}{2}λ|{\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}|的最小值為-\frac{3}{2},求實數(shù)λ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

13.在△ABC中,\sqrt{3}(tanB+tanC)=tanBtanC-1,則sin2A=\frac{\sqrt{3}}{2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

3.“p∧q為假”是“p∨q為假”的必要不充分條件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中選填一個)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=2\sqrt{3}sinxcosx+2cos2x.
(1)求f(\frac{π}{24})的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-m,m]上是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)m的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.(1)求值:(6.25){\;}^{\frac{1}{2}}-(-π)0-(-\frac{8}{27}{\;}^{\frac{2}{3}}+(1.5)-2;
(2)解不等式:73x<(\frac{1}{7}12-6x

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.(1)求等比數(shù)列1,\frac{1}{2},\frac{1}{4}\frac{1}{8},…的前9項和.
(2)如果等差數(shù)列{an}的前4項的和是10,前7項的和是28,求其前3項和.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案