Question

16．已知集合A={x|y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$}，B={y|y=2^x，x≥a}
（Ⅰ）若a=2，求（∁_UA）∩B；
（Ⅱ）若（∁_UA）∪B=R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)大于或等于0求出集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出a=2時(shí)集合B，再由補(bǔ)集和交集的定義寫出（∁_UA）∩B；
（Ⅱ）根據(jù)集合B與補(bǔ)集、并集的定義，得出不等式2^a≤1，求出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）集合A={x|y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$}
={x|$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$}
={x|1≤x≤2}
=[1，2]，
B={y|y=2^x，x≥a}
={y|y≥2^a}
=[2^a，+∞）；
若a=2，則B=[4，+∞），
∴∁_UA=（-∞，1）∪（2，+∞），
∴（∁_UA）∩B=[4，+∞）；
（Ⅱ）B=[2^a，+∞），
∁_UA=（-∞，1）∪（2，+∞），
若（∁_UA）∪B=R，
則2^a≤1，
解得a≤0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問(wèn)題，也考查了函數(shù)定義域和值域的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．