【題目】在平面直角坐標系中，定長為3的線段兩端點、分別在軸，軸上滑動，在線段上，且.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設(shè)點是軌跡上一點，從原點向圓作兩條切線分別與軌跡交于點，，直線，的斜率分別記為，.

①求證：；

②求的最大值.

【答案】（1）見證明；（2）2.5

【解析】

設(shè)，，，根據(jù)，可得，，再根據(jù)，即可求出軌跡方程，因為直線OP：，OQ：，與圓R相切，推出，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，利用韋達定理推出結(jié)合點在橢圓C上，證明．當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設(shè)，，通過，推出，利用，，在橢圓C上，推出，即可求出的最大值．

設(shè)，，，

．

，

，，

，，

，

，

即，

證明：直線OP：，OQ：，與圓相切，

直線OP：與圓M：聯(lián)立，

可得

同理，

由判別式為0，可得，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，

，

點在橢圓C上，所以，

；

當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設(shè)，，

，

，即，

，在橢圓C上，

，

整理得，

．

當直線落在坐標軸上時，顯然有，

綜上：

，

的最大值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足，，.

（1）若，，，求的取值范圍；

（2）若是公比為的等比數(shù)列，，，，求的取值范圍；

（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (其中為常數(shù)且)在處取得極值.

(1)當時，求的極大值點和極小值點；

(2)若在上的最大值為1，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：，點在x軸的正半軸上，過點M的直線l與拋線C相交于A、B兩點，O為坐標原點．

若，且直線l的斜率為1，求證：以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切；

是否存在定點M，使得不論直線l繞點M如何轉(zhuǎn)動，恒為定值？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知不等式的解集為．

（1）求的值；

（2）若不等式的解集為，不等式的解集為，且，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．

（1）若，求D點的坐標；

（2）設(shè)向量，，若k–與+3平行，求實數(shù) 的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】心理學家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學，給所有同學幾何和代數(shù)各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答，統(tǒng)計情況如下表：（單位：人）

幾何題

代數(shù)題

總計

男 同學

22

8

30

女同學

8

12

20

總計

30

20

50

（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)從選擇幾何題的8名女生中任意抽取兩人對他們的答題進行研究，記甲、乙兩名女生被抽到的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

附表及公式：

0.15

0．10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是不重合直線，是不重合平面，則下列命題

①若，則∥

②若∥∥，則∥

③若∥、∥，則∥

④若，則∥

⑤若，則∥

為假命題的是

A. ①②③ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其中.

（1）求和的表達式，并求函數(shù)的值域

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不等實根，求常數(shù)的取值范圍

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同步練習冊答案