已知動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線.

（I）求曲線的方程；

（II）設(shè)直線與曲線交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為,試問：當(dāng)變化時，直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

 

【答案】

（I）；（II）對于任意的，直線與軸交于定點．

【解析】

試題分析：（I）找出題中的相等關(guān)系，列出，化簡即得曲線的方程；（II）將直線方程代入曲線方程，消去得，記，則，且.特別地，令，則.此時，直線與軸的交點為．若直線與軸交于一個定點，則定點只能為．再證明對于任意的，直線與軸交于定點，可利用直線的兩點式方程結(jié)合分析法．

試題解析：（I）設(shè)是點到直線的距離,根據(jù)題意,點的軌跡就是集合

       

由此得              

將上式兩邊平方,并化簡得      

即，所以曲線的方程為  

（II）由得，即.  

記，

則，且.    

特別地，令，則.

此時，直線與軸的交點為．         

若直線與軸交于一個定點，則定點只能為．

以下證明對于任意的，直線與軸交于定點．

事實上，經(jīng)過點的直線方程為.

令，得只需證， 

即證，即證.    

因為，   

所以成立．

這說明，當(dāng)變化時，直線與軸交于定點．           …

考點：1、曲線方程求法；2、直線與圓錐曲線位置關(guān)系；3、定點問題．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點到定點的距離與點到定直線：的距離之比為．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設(shè)、是直線上的兩個點，點與點關(guān)于原點對稱，若，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知動點到定點的距離與點到定直線：的距離之比為．（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)、是直線上的兩個點，點與點關(guān)于原點對稱，若，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 在平面直角坐標(biāo)系中,動點到定點的距離比它到軸的距離大,設(shè)動點的軌跡是曲線.

(1)求曲線的軌跡方程;

(2) 設(shè)直線:與曲線相交于、兩點,已知圓經(jīng)過原點和兩點,求圓的方程,并判斷點關(guān)于直線的對稱點是否在圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年黑龍江佳木斯市高三第三次調(diào)研文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知動點到定點與到定點的距離之比為.

（1）求動點的軌跡C的方程，并指明曲線C的軌跡；

（2）設(shè)直線,若曲線C上恰有三個點到直線的距離為1，求實數(shù)的值。

 

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