Question

11．已知a∈R，函數(shù)f（x）═log₂（$\frac{1}{x}$+a）．
（1）若f（1）＜2，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設函數(shù)g（x）=f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]，討論函數(shù)g（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）若f（1）＜2，則log₂（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得實數(shù)a的取值范圍；
（2）令函數(shù)g（x）=f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，即$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5，即（a-4）x²+（a-5）x-1=0，分類討論方程根的個數(shù)，可得不同情況下函數(shù)g（x）的零點個數(shù)．

解答 解：（1）若f（1）＜2，
則log₂（1+a）＜2，
即0＜1+a＜4，
解得：a∈（-1，3）；
（2）令函數(shù)g（x）=f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，
則f（x）=log₂[（a-4）x+2a-5]，
即$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5，
即（a-4）x²+（a-5）x-1=0，
①當a=4時，方程可化為：-x-1=0，解得：x=-1，
此時$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=3，滿足條件，
即a=4時函數(shù)g（x）有一個零點；
②當（a-5）²+4（a-4）=0時，a=3，方程可化為：-x²-2x-1=0，
此時$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=2，滿足條件，
即a=3時函數(shù)g（x）有一個零點；
③當（a-5）²+4（a-4）＞0時，a≠3，
方程有兩個根，x=-1，或x=$\frac{4}{a-4}$，
當x=-1時，$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=a-1，當a＞1時，滿足條件，
當x=$\frac{4}{a-4}$時，$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=$\frac{5}{4}a-1$，當a$＞\frac{4}{5}$時，滿足條件，
a≤$\frac{4}{5}$時，函數(shù)g（x）無零點；
$\frac{4}{5}$＜a≤1時，函數(shù)g（x）有一個零點；
a＞1且a≠3且a≠4時函數(shù)g（x）有兩個零點；

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，分類討論思想，難度中檔．