【題目】已知依次滿足

（1）求點的軌跡；

（2）過點作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設(shè)點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

【答案】（1）以原點為圓心，為半徑的圓； （2）； （3）存在點，其坐標為或,使得直線與以為圓心的圓相切

【解析】

（1）利用表示出，從而得到軌跡方程；（2）利用直線與圓相切得到，將直線方程代入橢圓方程，得到，利用求得，從而得到橢圓方程；（3）利用圓心到直線距離等于半徑得到，再利用在橢圓上可以求解出點坐標，從而可求得結(jié)果.

（1）設(shè)，

則

則：

代入得：

點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓

（2）由題意可知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為……①

橢圓的方程……②

由與圓相切得：

將①代入②得：

又，可得

設(shè)，

橢圓方程為：

（3）假設(shè)存在橢圓上的一點，使得直線與以為圓心的圓相切

則到直線的距離相等，又

則，

則

化簡整理得：

點在橢圓上

解得：或（舍）

時，

橢圓上存在點，其坐標為或

使得直線與以為圓心的圓相切

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)

討論的單調(diào)性；

若是的極值點，且曲線在兩點 處的切線相互平行，這兩條切線在軸上的截距分別為，求的取值范圍

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【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB，E為PC中點．

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（Ⅱ）若AB⊥平面PBC，△PBC是邊長為2的正三角形，求點E到平面PAD的距離．

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【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點；

（2）若恒成立，求的取值范圍.

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【題目】下列說法中正確的個數(shù)是_________.

（1）命題“若，則方程有實數(shù)根”的逆否命題為“若方程無實數(shù)根，則”.

（2）命題“，”的否定“，”.

（3）若為假命題，則，均為假命題.

（4）“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在教材中，我們已研究出如下結(jié)論：平面內(nèi)條直線最多可將平面分成個部分．現(xiàn)探究：空間內(nèi)個平面最多可將空間分成多少個部分，．設(shè)空間內(nèi)個平面最多可將空間分成個部分．

（1）求的值；

（2）用數(shù)學歸納法證明此結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設(shè)橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準圓”的方程；

（2）若橢圓的“準圓”的一條弦與橢圓交于、兩點，試證明：當時，弦的長為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(Ⅰ)當時，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若對任意的和恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：在左、右焦點分別為，，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標原點）.

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