【題目】已知橢圓：在左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，若是面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且，求使的面積最大時(shí)直線的方程（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

【答案】解（1）；（2）或.

【解析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 的方程組，求出 、，即可得結(jié)果;（2）先證明直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用弦長(zhǎng)公式可得 ，化簡(jiǎn)得.原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大.由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

（1）由是面積為的等邊三角形，得，

所以，，從而，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）知，當(dāng)軸時(shí)，，則為橢圓的短軸，故有，，三點(diǎn)共線，不合題意.

所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立方程組消去，得，

所以有，，

則 ，

即，化簡(jiǎn)得.

因?yàn)?/span>，所以有且.

原點(diǎn)到直線的距離為，的面積，

所以當(dāng)最大時(shí)，的面積最大.

因?yàn)?/span>，而，

所以當(dāng)時(shí)，取最大值為3，面積的最大值.

把代入，得，所以有，

即直線的方程為或.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知依次滿足

（1）求點(diǎn)的軌跡；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線交以為焦點(diǎn)的橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，且直線與點(diǎn)的軌跡相切，求該橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，是否存在橢圓上的點(diǎn)及以為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】40名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如下：

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù) （保留小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)字）和眾數(shù)；

（3）從成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生中任選3人，求這3人的成績(jī)都在中的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，過(guò)橢圓E：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓E的頂點(diǎn)，且AB∥OP，F2為右焦點(diǎn)，△PF2Q的周長(zhǎng)為8．

（1）求橢圓E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F1作直線l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，若△OCD的面積為，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓，一動(dòng)圓與直線相切且與圓外切．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）過(guò)作直線，交（1）中軌跡于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（）求函數(shù)的極值點(diǎn)．

（）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若，證明：；

（2）已知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖（一），在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=CP，D是CP的中點(diǎn)，將△PAD沿AD折起，使點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)P′的位置得到圖（二），點(diǎn)M為棱P′C上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)M在何處時(shí)，平面ADM⊥平面P′BC，并證明；

（2）若AB=2，∠P′DC=135°，證明：點(diǎn)C到平面P′AD的距離等于點(diǎn)P′到平面ABCD的距離，并求出該距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A.f(x)在(－3，－1)上先增后減B.x＝－2是f(x)極小值點(diǎn)

C.f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)D.x＝1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)

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