【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若，證明：；

（2）已知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，由此證得不等式成立.（2）先求得的表達(dá)式，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的實(shí)根來解決.顯然是方程的根.當(dāng)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來求得當(dāng)有一個(gè)不為零的零點(diǎn)時(shí)的取值范圍.

證明：（1）當(dāng)時(shí)，，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，也為最大值，

所以最大值為，

所以.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

易知0為方程的一個(gè)根，此時(shí).

當(dāng)時(shí)，只需有一個(gè)不為0的零點(diǎn)即可，

當(dāng)時(shí)，，

故為減函數(shù)，

因?yàn)?/span> ，，

故在上僅有1個(gè)零點(diǎn)，且不為0，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，，不合題意；

當(dāng)時(shí)，， ，

，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知在上至少有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)，故在上也有零點(diǎn)，故不合題意.

綜上，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準(zhǔn)圓”的方程；

（2）若橢圓的“準(zhǔn)圓”的一條弦與橢圓交于、兩點(diǎn)，試證明：當(dāng)時(shí)，弦的長(zhǎng)為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年春節(jié)期間，我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)處記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時(shí)間段9:20～9：40記作區(qū)間，9:40～10:00記作，10:00～10:20記作，10:20～10:40記作.比方：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.

（1）估計(jì)這600輛車在9:20～10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，記為9:20～10:00之間通過的車輛數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20～10:40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9:46～10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：在左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，若是面積為的等邊三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，且，求使的面積最大時(shí)直線的方程（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】 在正方體ABCDA1B1C1D1中，若F，G分別是棱AB，CC1的中點(diǎn)，則直線FG與平面A1ACC1所成角的正弦值等于(　　)

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，過作垂直交于點(diǎn)，作垂直交于點(diǎn)，平面交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，.

（1）試證明不論點(diǎn)在何位置，都有；

（2）求的最小值；

（3）設(shè)平面與平面的交線為，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)在橢圓上，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于）且滿足直線與斜率之積為.試判斷直線是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，求的取值范圍；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l：的垂線，垂足為Q，且．

Ⅰ求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

Ⅱ設(shè)點(diǎn)P的軌跡C與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)A，B是軌跡C上異于點(diǎn)M的不同的兩點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍．

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