Question

下列三個(gè)命題：
①“一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等”是“兩個(gè)平面平行”的充要條件；
②設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件

y≥0 y≤4x x≤1

，若目標(biāo)函數(shù)z=（a²+b²）x+y的最大值為8，則a+2b的最小值是-2

5

；
③四棱錐P-ABCD，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD為正三角形且垂直底面ABCD，則四棱錐P-ABCD的外接球半徑為

21

3

；
其中正確的有

 

．（只填寫命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離,簡易邏輯

分析：①判斷充分性與必要性是否都成立；
②根據(jù)約束條件求出當(dāng)x=1，y=4時(shí)目標(biāo)函數(shù)z取得最大值，此時(shí)a²+b²=4，
利用參數(shù)法求出a+2b的最小值；
③設(shè)球心為O，半徑為R，O到底面的距離為h，求出四棱錐P-ABCD的外接球半徑R．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等時(shí)，這兩個(gè)平面不一定平行，
∴充分性不成立，
當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，必要性成立，
∴是必要不充分條件，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，∵約束條件

y≥0 y≤4x x≤1

，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=（a²+b²）x+y的最大值為8時(shí)，
（a²+b²）×1+4=8，
∴a²+b²=4；
設(shè)a=2cosα，b=2sinα，α∈（0，2π），
∴a+2b=2cosα+4sinα=

22+42

sin（α+β）=2

5

sin（α+β），
當(dāng)sin（α+β）=-1時(shí)，a+2b取得最小值-2

5

，∴②正確；
對(duì)于③，設(shè)球心為O，半徑為R，O到底面的距離為h，
∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD是等邊三角形，且有側(cè)面PAD⊥底面ABCD，
∴四棱錐的高為

3

，底面正方形外接圓半徑為

2

，
∴2+h²=(

3

-h)2，
∴h=

3

3

，
∴R²=2+h²=

7

3

，
∴四棱錐P-ABCD的外接球半徑為R=

21

3

，∴③正確．
綜上，正確的命題是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了充分與必要條件的應(yīng)用問題，也考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，還考查了空間圖形的應(yīng)用問題，是綜合題目．