Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2 3

3

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，一條準(zhǔn)線的方程為x=

3

2

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C上的一點(diǎn)P滿足

PF1

•

PF2

=1，求|

PF1

|•|

PF2

|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用雙曲線的準(zhǔn)線方程和離心率公式，得到方程組，解出即可得到雙曲線方程；
（2）設(shè)|

PF1

|=r1， |

PF2

|=r2，  ∠F1PF2=θ．運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合雙曲線的定義和余弦定理，化簡(jiǎn)即可得到．

解答： 解：（1）由條件有

c a = 2 3 3 a2 c = 3 2

，∴

a= 3 c=2

∴a²=3，b²=c²-a²=1．
故雙曲線C的方程為：

x2

3

-y2=1；
（2）設(shè)|

PF1

|=r1， |

PF2

|=r2，  ∠F1PF2=θ．
∵

PF1

•

PF2

=1∴r₁•r₂•cosθ=1，
又|r1-r2|=2

3

∴

r

2 1

+

r

2 2

-2r1r2=12，即

r

2 1

+

r

2 2

=2r1r2+12．
又由余弦定理有：4c2=

r

2 1

+

r

2 2

-2r1r2cosθ．
即16=2r₁r₂+12-2，∴r₁r₂=3．
故|

PF1

|•|

PF2

|=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的定義和余弦定理及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．