4.已知函數(shù)f(x)=2x+ax2+bcosx函數(shù)在點(diǎn)$({\frac{π}{2},f({\frac{π}{2}})})$處的切線為y=$\frac{3π}{4}$.
(1)求函數(shù)a,b的值,并求出f(x)在[0,π]上的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x1)=f(x2),且0<x1<x2<π,求證:$f'({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})<0$.

分析 (1)先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可期初a,b的值,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系即可求出,
(2)由f(x1)=f(x2),得得$2-\frac{1}{π}({{x_1}+{x_2}})+\frac{{{{cosx}_1}-cos{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$,令x1+x2=2x0,構(gòu)造函數(shù)h(x)=$\frac{sinx}{x}$,求導(dǎo)得到函數(shù)的最值,即可證明.

解答 解:(1)由題意:f'(x)=2+2ax-bsinx,所以$\left\{{\begin{array}{l}{f'({\frac{π}{2}})=0}\\{f({\frac{π}{2}})=\frac{3π}{4}}\end{array}}\right.$,解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{π}}\\{b=1}\end{array}}\right.$,
故$f(x)=2x-\frac{1}{π}{x^2}+cosx,f'(x)=2-\frac{2}{π}x-sinx$,
當(dāng)$0<x<\frac{π}{2}$時(shí),f'(x)為減函數(shù),且$f'({\frac{π}{2}})=0,f'(x)>0,f(x)$為增函數(shù),
當(dāng)$\frac{π}{2}<x<π$時(shí),$f''(x)=-\frac{2}{π}-cosx$為增函數(shù),
且$f''({\frac{π}{2}})=-\frac{2}{π}<0,f''(π)=1-\frac{2}{π}>0$,
故存在唯一m使f(m)=0,
所以f'(x)在$({\frac{π}{2},m})$上為減函數(shù),在(m,π)上為增函數(shù),
又因?yàn)?f'({\frac{π}{2}})=0,f'(π)=0$,
所以$\frac{π}{2}<x<π$時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù),
綜上可知:$x∈[{0,\frac{π}{2}}]$時(shí),f(x)為增函數(shù);$x∈[{\frac{π}{2},π}]$時(shí),f(x)為減函數(shù),
(2)由f(x1)=f(x2),得$2{x_1}-\frac{x_1^2}{π}+cos{x_1}=2{x_2}-\frac{x_2^2}{π}+cos{x_2}$,
所以$2({{x_1}-{x_2}})-\frac{1}{π}({{x_1}+{x_2}})({{x_1}-{x_2}})+cos{x_1}-cos{x_2}=0$,
兩邊同除以x1-x2,得$2-\frac{1}{π}({{x_1}+{x_2}})+\frac{{{{cosx}_1}-cos{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$,
令x1+x2=2x0,則$2-\frac{2}{π}{x_0}+\frac{{-2sin\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$,
所以$2-\frac{2}{π}{x_0}-\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=0$,
得$2-\frac{2}{π}{x_0}=\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$,
因?yàn)?f'(x)=2-\frac{2x}{π}-sinx$,
所以$f'({x_0})=2-\frac{{2{x_0}}}{π}-sin{x_0}=\frac{{2sin{x_0}sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{{x_1}-{x_2}}}-sin{x_0}$=$sin{x_0}•({\frac{{sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}-1})$,
令$x=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2},x∈({0,π}),h(x)=\frac{sinx}{x}$,
則$h'(x)=\frac{xcosx-sinx}{x}$,
當(dāng)$0<x<\frac{π}{2}$時(shí),h'(x)<0,h(x)為減函數(shù),
當(dāng)$\frac{π}{2}<x<π$時(shí),h'(x)<0,h(x)為減函數(shù),
所以h(0)→1,(也可以利用斜率),
所以$h(x)<1,\frac{{sin\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}{{\frac{{{x_1}-{x_2}}}{2}}}-1<0$,
又x0∈(0,π),所以sinx0>0,
故f'(x0)<0,
故:$f'({\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}})<0$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值和單調(diào)性的關(guān)系,以及不等式恒成立的問題,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,化歸能力,屬于難題.

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