Question

（12分）已知函數(shù)，其中.

（1）當a=3，b=-1時，求函數(shù)的最小值；

（2）當a>0，且a為常數(shù)時，若函數(shù)對任意的，總有成立，試用a表示出b的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）參考解析.

【解析】

試題分析：（1）由a=3，b=-1即可得，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的正負得出函數(shù)的增減，由此得到函數(shù)的最小值.

（2）由可得，，由此等價證明函數(shù)在上單調(diào)遞增.通過對函數(shù)求導，以及分離變量，等價轉化為，恒成立，即，.所以再對函數(shù)求導，分類求出最小值.即可得到結論.

試題解析：（1）當時，

∴

∵，∴時，；時，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴在處取得最小值，即.

（2）由題意，對任意的，總有成立.

令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增

∴在上恒成立，∴在上恒成立.

構造函數(shù)則

∴F（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

（Ⅰ）當，即時，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴

∴，從而

（Ⅱ）當，即時，在上單調(diào)遞增

，從而

綜上，當時，，時，

考點：1.函數(shù)導數(shù)解決最值問題.2.構建新函數(shù)的思想.3.分類的思想.

考點分析： 考點1：導數(shù)及其應用 試題屬性

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