Question

（本小題滿分13分）橢圓的左、右焦點分別是，，過斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點，且，，成等差數列．

（1）請?zhí)角?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071906065982472564/SYS201507190607192162989370_ST/SYS201507190607192162989370_ST.011.png">與的關系；

（2）設點在線段的垂直平分線上，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先根據橢圓的定義得到的周長為，進而結合，，成等差數列得出，然后聯立直線與橢圓的方程，消去，得到，進而得出，再利用弦長公式計算出，化簡即可得出的關系；（2）結合（1）中得出的關系，得到中點的坐標，然后根據，即可計算出的取值，寫出橢圓的方程即可.

試題解析：（1）由題設，得， 由橢圓定義，所以．

設，，，，代入橢圓的方程

整理得（*）

所以

則

于是有，化簡，得，故

（2）由（1）有，方程（*）可化為

設中點為，則

又，于是． 由知為的中垂線，

由，得，解得，

故橢圓的方程為．

考點：1.橢圓的定義；2.橢圓的標準方程及其幾何性質；3.二次方程根與系數的關系；4.兩直線垂直的充要條件.

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質 試題屬性

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